Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(1 + \frac{6}{\log _{3} x - 3} + \frac{5}{\log _{3}^{2} x - \log _{3} ( 27 x^{6} ) + 12} \geq 0\)
Для начала определим область допустимых значений переменной: \(x > 0\).
Преобразуем знаменатель третьей дроби, используя свойства логарифма произведения и степени:
\(1 + \frac{6}{\log _{3} x - 3} + \frac{5}{\log _{3}^{2} x - (\log _{3} 27 + \log _{3} x^{6}) + 12} \geq 0\)
Введем новую переменную, пусть \(\log _{3} x = t\). Тогда неравенство примет вид:
\(1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^{2} - (3 + 6t) + 12} \geq 0\)
Упростим выражение в знаменателе:
\(1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{t^{2} - 6t + 9} \geq 0\)
Заметим, что \(t^2 - 6t + 9\) — это полный квадрат \((t - 3)^2\):
\(1 + \frac{6}{t - 3} + \frac{5}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Приведем все слагаемые к общему знаменателю \((t - 3)^2\):
\(\frac{(t - 3)^{2} + 6(t - 3) + 5}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
\(\frac{t^{2} - 6t + 9 + 6t - 18 + 5}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
\(\frac{t^{2} - 4}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
\(\frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Таким образом, для переменной \(t\) получаем следующие промежутки:
\(\left[\begin{matrix} t \leq -2 \\ 2 \leq t < 3 \\ t > 3 \end{matrix}\right.\)
Вернемся к переменной \(x\), подставив \(t = \log_{3} x\):
\(\left[\begin{matrix} \log _{3} x \leq -2 \\ 2 \leq \log _{3} x < 3 \\ \log _{3} x > 3 \end{matrix}\right.\)
Учитывая, что основание логарифма \(3 > 1\), переходим к потенцированию с сохранением знаков неравенств:
\(\left[\begin{matrix} x \leq 3^{-2} \\ 3^2 \leq x < 3^3 \\ x > 3^3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{9} \\ 9 \leq x < 27 \\ x > 27 \end{matrix}\right.\)
С учетом условия \(x > 0\), отметим решения на числовой прямой:

Ответ: \(( 0 ; \frac{1}{9} ] \cup [ 9 ; 27 ) \cup ( 27 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ