Решение:
Исходное неравенство: \(\frac{\log _{3} ( 81 x )}{\log _{3} x - 4} + \frac{\log _{3} x - 4}{\log _{3} ( 81 x )} \geq \frac{24 - \log _{3} x^{8}}{\log _{3}^{2} x - 16}\).
Начнём с определения области допустимых значений: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть \(x > 0\).
Преобразуем логарифмы, используя свойства произведения и степени: \(\log_3(81x) = \log_3 81 + \log_3 x = 4 + \log_3 x\), а \(\log_3 x^8 = 8\log_3 x\).
Перепишем выражение: \(\frac{4 + \log _{3} x}{\log _{3} x - 4} + \frac{\log _{3} x - 4}{4 + \log _{3} x} \geq \frac{24 - 8\log _{3} x}{\log _{3}^{2} x - 16}\).
Для упрощения вычислений введём новую переменную \(t = \log _{3} x\).
Получаем рациональное неравенство: \(\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \geq \frac{24 - 8t}{t^2 - 16}\).
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём их к общему знаменателю \((t - 4)(t + 4)\):
\(\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2 - (24 - 8t)}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0\).
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
\(\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16 - 24 + 8t}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0\);
\(\frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0\).
Вынесем общий множитель и свернём числитель по формуле квадрата суммы:
\(\frac{2(t^2 + 4t + 4)}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0\).
Решим полученное неравенство методом интервалов относительно \(t\):

Решением для \(t\) является совокупность условий:
\(\left[\begin{matrix} t < -4 \\ t = -2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.\)
Вернёмся к переменной \(x\), подставив \(t = \log_3 x\):
\(\left[\begin{matrix} \log_3 x < -4 \\ \log_3 x = -2 \\ \log_3 x > 4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x < 3^{-4} \\ x = 3^{-2} \\ x > 3^4 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{81} \\ x = \frac{1}{9} \\ x > 81 \end{matrix}\right.\).
Учитывая условие \(x > 0\), находим итоговые промежутки:

Ответ: \(\left(0 ; \frac{1}{81}\right) \cup \left\{\frac{1}{9}\right\} \cup \left(81 ; + \infty\right)\)

Источник: ФИПИ