Решение:
Исходное неравенство: \(7 \log _{12} ( x^{2} - 13 x + 42 ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}\).
Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(7 \log _{12} ( ( x - 7 ) ( x - 6 ) ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}\).
Используя свойства логарифма, внесем коэффициент перед первым логарифмом в показатель степени: \(\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) \leq 8 + \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6}\).
Перенесем логарифмы в левую часть и представим число 8 как логарифм по основанию 12: \(\log _{12} ( ( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} ) - \log _{12} \frac{( x - 7 )^{7}}{x - 6} \leq \log _{12} 12^{8}\).
Определим область допустимых значений (ОДЗ): \(\left\{\begin{matrix} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.\)
Это эквивалентно системе: \(\left\{\begin{matrix} (x - 7) (x - 6) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{matrix}\right.\)
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: \(x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)\).
Вернемся к преобразованию неравенства. Применим свойство разности логарифмов (логарифм частного): \(\log _{12} \frac{( x - 7 )^{7} ( x - 6 )^{7} \cdot ( x - 6 )}{( x - 7 )^{7}} \leq \log _{12} 12^{8}\).
После сокращения дроби под знаком логарифма имеем: \(\log _{12} ( x - 6 )^{8} \leq \log _{12} 12^{8}\), что упрощается до \(\log _{12} (x - 6)^{8} \leq 8\).
Вынесем четную степень за знак логарифма, не забывая про модуль: \(8 \log _{12} |x - 6| \leq 8\).
Разделим обе части на 8: \(\log _{12} |x - 6| \leq 1\).
Перейдем к равносильному неравенству для подлогарифмического выражения: \(|x - 6| \leq 12\).
Это неравенство равносильно двойному неравенству \(-12 \leq x - 6 \leq 12\), откуда находим границы: \(x_1 = -6\) и \(x_2 = 18\).

Решением данного этапа является отрезок \(x \in [-6; 18]\).
Теперь найдем пересечение полученного решения с найденными ранее ограничениями:

Ответ: \([-6; 6) \cup (7; 18]\)

Источник: ФИПИ