Решение:
Исходное неравенство: \(1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - \log _{4} ( 64 x^{6} ) + 12} \geq 0\).
Начнем с области определения: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть \(x > 0\).
Преобразуем знаменатель третьей дроби, используя свойства логарифма произведения и степени:
\(1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - (\log _{4} 64 + \log _{4} x^{6}) + 12} \geq 0\)
\(1 + \frac{5}{\log _{4} x - 3} + \frac{6}{\log _{4}^{2} x - 6 \log _{4} x - 3 + 12} \geq 0\)
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть \(\log _{4} x = t\).
Неравенство примет вид:
\(1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{t^{2} - 6 t + 9} \geq 0\)
Заметим, что в знаменателе последней дроби находится полный квадрат:
\(1 + \frac{5}{t - 3} + \frac{6}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Приведем все слагаемые к общему знаменателю \((t - 3)^{2}\):
\(\frac{(t - 3)^{2} + 5(t - 3) + 6}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
\(\frac{t^{2} - 6 t + 9 + 5 t - 15 + 6}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
\(\frac{t^{2} - t}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Разложим числитель на множители:
\(\frac{t(t - 1)}{(t - 3)^{2}} \geq 0\)
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной \(x\), учитывая найденные промежутки для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t \leq 0 \\ 1 \leq t < 3 \\ t > 3 \end{matrix}\right.\)
Подставим \(t = \log _{4} x\):
\(\left[\begin{matrix} \log _{4} x \leq 0 \\ 1 \leq \log _{4} x < 3 \\ \log _{4} x > 3 \end{matrix}\right.\)
Так как основание логарифма \(4 > 1\), логарифмическая функция возрастает, и знаки неравенств для аргументов сохраняются:
\(\left[\begin{matrix} x \leq 4^0 \\ 4^1 \leq x < 4^3 \\ x > 4^3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x \leq 1 \\ 4 \leq x < 64 \\ x > 64 \end{matrix}\right.\)
С учетом условия \(x > 0\) отметим решения на числовой прямой:

Ответ: \(( 0 ; 1 ] \cup [ 4 ; 64 ) \cup ( 64 ; + \infty )\)

Источник: ФИПИ