Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\log _{3}^{2} ( 25 - x^{2} ) - 3 \log _{3} ( 25 - x^{2} ) + 2 \geq 0\).
Начнем с определения области допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть строго положителен:
\(25 - x^{2} > 0 \Rightarrow (5 - x)(5 + x) > 0\).

Следовательно, переменная \(x\) должна принадлежать интервалу \((-5; 5)\).
Для упрощения введем новую переменную, пусть \(t = \log _{3} (25 - x^{2})\). Тогда неравенство примет вид квадратного:
\(t^{2} - 3t + 2 \geq 0\).
Корнями соответствующего квадратного уравнения являются \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 2\).
Решим неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность двух условий:
\(\left[\begin{matrix} t \leq 1 \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.\)
Рассмотрим каждое из них по отдельности, учитывая основание логарифма \(3 > 1\):
1) \(\log _{3} (25 - x^{2}) \leq 1\)
\(25 - x^{2} \leq 3^1 \Rightarrow x^{2} \geq 22\).
Отсюда получаем значения \(x \in (-\infty; -\sqrt{22}] \cup [\sqrt{22}; +\infty)\).

2) \(\log _{3} (25 - x^{2}) \geq 2\)
\(25 - x^{2} \geq 3^2 \Rightarrow x^{2} \leq 16\).
Это условие выполняется при \(x \in [-4; 4]\).

Теперь необходимо объединить полученные результаты и найти их пересечение с ОДЗ \(x \in (-5; 5)\):

Ответ: \((-5; -\sqrt{22}] \cup [-4; 4] \cup [\sqrt{22}; 5)\)

Источник: ФИПИ