Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(11^{x} - 6 - \frac{24 \cdot 11^{x} - 244}{121^{x} - 16 \cdot 11^{x} + 60} \leq \frac{1}{11^{x} - 10}\).
Заметим, что \(121^x = (11^x)^2\), и перепишем выражение в следующем виде: \(11^{x} - 6 - \frac{24 \cdot 11^{x} - 244}{\left(11^{x}\right)^{2} - 16 \cdot 11^{x} + 60} \leq \frac{1}{11^{x} - 10}\).
Для упрощения вычислений введем новую переменную \(t = 11^{x}\), где \(t > 0\).
Тогда неравенство примет вид: \(t - 6 - \frac{24 t - 244}{t^{2} - 16 t + 60} \leq \frac{1}{t - 10}\).
Разложим квадратный трехчлен в знаменателе дроби на множители: \(t^2 - 16t + 60 = (t - 10)(t - 6)\).
Подставим это в неравенство: \(t - 6 - \frac{24 t - 244}{(t - 10)(t - 6)} \leq \frac{1}{t - 10}\).
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю \((t - 6)(t - 10)\):
\(\frac{(t - 6)^2 (t - 10) - (24t - 244) - (t - 6)}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0\).
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
\(\frac{(t^2 - 12t + 36)(t - 10) - 24t + 244 - t + 6}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0\);
\(\frac{t^3 - 10t^2 - 12t^2 + 120t + 36t - 360 - 25t + 250}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0\);
\(\frac{t^3 - 22t^2 + 131t - 110}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0\).
Теперь разложим на множители многочлен в числителе. Найдем корни уравнения \(t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = 0\).
Среди делителей свободного члена \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10, \dots\) подбором находим корень \(t = 10\):
\(10^3 - 22 \cdot 10^2 + 131 \cdot 10 - 110 = 1000 - 2200 + 1310 - 110 = 0\).
Разделив многочлен на \((t - 10)\), получим:
\(t^3 - 22t^2 + 131t - 110 = (t - 10)(t^2 - 12t + 11)\).
Далее разложим квадратный трехчлен \(t^2 - 12t + 11\). Его корнями являются \(t = 1\) и \(t = 11\).
Таким образом, числитель равен \((t - 10)(t - 11)(t - 1)\).
Итоговое рациональное неравенство относительно \(t\):
\(\frac{(t - 10)(t - 11)(t - 1)}{(t - 6)(t - 10)} \leq 0\).
Решим его методом интервалов, учитывая, что \(t \neq 10\) и \(t \neq 6\):

Перейдем к обратной замене. Получаем совокупность условий для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t \leq 1 \\ 6 < t < 10 \\ 10 < t \leq 11 \end{matrix}\right.\)
Возвращаемся к переменной \(x\), учитывая, что \(t = 11^x\):
\(\left[\begin{matrix} 11^{x} \leq 1 \\ 6 < 11^{x} < 10 \\ 10 < 11^{x} \leq 11 \end{matrix}\right.\)
Логарифмируя по основанию 11, получаем значения для \(x\):
\(\left[\begin{matrix} x \leq 0 \\ \log_{11} 6 < x < \log_{11} 10 \\ \log_{11} 10 < x \leq 1 \end{matrix}\right.\)

Ответ: \((-\infty; 0] \cup (\log_{11} 6; \log_{11} 10) \cup (\log_{11} 10; 1]\)

Источник: ФИПИ