Разбор решения:
Дано показательное неравенство: \(\frac{1}{3^{x} + 21} + \frac{1}{3^{x} - 27} \geq 0\).
Для упрощения введём новую переменную, пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\).
Тогда неравенство примет вид: \(\frac{1}{t + 21} + \frac{1}{t - 27} \geq 0\).
Приведём дроби к общему знаменателю:
\(\frac{(t - 27) + (t + 21)}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0\)
Упростим числитель полученного выражения:
\(\frac{2t - 6}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0\)
Вынесем общий множитель в числителе:
\(\frac{2(t - 3)}{(t + 21)(t - 27)} \geq 0\)
Решим данное рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Перейдём обратно к переменной \(x\), учитывая найденные промежутки для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} -21 < t \leq 3 \\ t > 27 \end{matrix}\right.\)
Подставим \(3^{x}\) вместо \(t\):
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 3^{x} > -21 \\ 3^{x} \leq 3^1 \end{cases} \\ 3^{x} > 3^3 \end{cases}\right.\)
Так как \(3^x\) всегда больше нуля, условие \(3^x > -21\) выполняется при любых действительных \(x\). Решая остальные неравенства, получаем:
\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ x \leq 1 \end{cases} \\ x > 3 \end{matrix}\right.\)
Объединяя результаты, находим итоговое множество решений.

Ответ: \((-\infty; 1] \cup (3; +\infty)\)

Источник: ФИПИ