Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\frac{3^{x} + 9}{3^{x} - 9} + \frac{3^{x} - 9}{3^{x} + 9} \geq \frac{4 \cdot 3^{x + 1} + 144}{9^{x} - 81}\).
Для упрощения введем новую переменную, пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\).
Заметим, что \(9^x - 81 = (3^x)^2 - 9^2 = (t-9)(t+9)\). Тогда неравенство примет вид:
\(\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{(t - 9)(t + 9)}\).
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
\(\frac{(t + 9)^{2} + (t - 9)^{2} - (12t + 144)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0\).
Раскроем скобки в числителе: \(t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81 - 12t - 144 = 2t^2 - 12t + 18\).
Получаем рациональное неравенство:
\(\frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0\), что эквивалентно \(\frac{2(t - 3)^{2}}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0\).
Решим полученное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Учитывая область допустимых значений и знак выражения, получаем совокупность условий для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t < -9 \\ t = 3 \\ t > 9 \end{matrix}\right.\)
Выполним переход к исходной переменной \(x\):
\(\left[\begin{matrix} 3^{x} < -9 \\ 3^{x} = 3 \\ 3^{x} > 9 \end{matrix}\right.\)
1) Уравнение \(3^x < -9\) не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
2) Из \(3^x = 3^1\) следует, что \(x = 1\).
3) Из \(3^x > 3^2\) следует, что \(x > 2\).
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: \(\{1\} \cup (2; +\infty)\)

Источник: ФИПИ