Разбор решения:
Дано неравенство: \(x^{2} \log _{512} ( x + 7 ) \leq \log _{2} ( x^{2} + 14 x + 49 )\).
Преобразуем обе части выражения, используя свойства логарифмов. Заметим, что \(512 = 2^9\), а выражение под логарифмом справа представляет собой полный квадрат: \(x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2\).
\[x^{2} \log _{2^{9}} (x + 7) \leq \log _{2} (x + 7)^{2}\] Вынесем показатели степеней за знаки логарифмов:
\[\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) \leq 2 \log _{2} |x + 7|\] Учтем область допустимых значений переменной:
\(\begin{cases} x + 7 > 0 \\ (x + 7)^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > -7\).
Так как при \(x > -7\) выражение \(x + 7\) всегда положительно, модуль можно опустить: \(|x + 7| = x + 7\).
Перенесем все слагаемые в левую часть для последующего разложения на множители:
\[\frac{x^{2}}{9} \log _{2} (x + 7) - 2 \log _{2} (x + 7) \leq 0\] Вынесем общий множитель \(\log _{2} (x + 7)\) за скобки:
\[\log _{2} (x + 7) \left(\frac{x^{2}}{9} - 2\right) \leq 0\] Умножим неравенство на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
\[\log _{2} (x + 7) (x^{2} - 18) \leq 0\] Применим метод рационализации для логарифмического множителя (учитывая, что основание \(2 > 1\)):
\[(2 - 1)(x + 7 - 1)(x^2 - 18) \leq 0\] \[(x + 6)(x^2 - 18) \leq 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов, отметив корни на числовой прямой:

Множество решений данного неравенства: \(x \in (-\infty; -6] \cup [-\sqrt{18}; \sqrt{18}]\).
С учетом условия \(x > -7\), получаем итоговый промежуток.

Ответ: \((-7; -6] \cup [-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2}]\)

Источник: ФИПИ