Разбор решения:
Исходное неравенство: \[\frac{\log _{4} ( 64 x )}{\log _{4} x - 3} + \frac{\log _{4} x - 3}{\log _{4} ( 64 x )} \geq \frac{\log _{4} x^{4} + 16}{\log _{4}^{2} x - 9}\] Применим свойства логарифма произведения и степени: \[\frac{3 + \log _{4} x}{\log _{4} x - 3} + \frac{\log _{4} x - 3}{3 + \log _{4} x} \geq \frac{4\log _{4} x + 16}{\log _{4}^{2} x - 9}\] Учтем область допустимых значений переменной: \(x > 0\).
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть \(\log _{4} x = t\).
Тогда неравенство примет вид: \[\frac{t + 3}{t - 3} + \frac{t - 3}{t + 3} \geq \frac{4 t + 16}{t^{2} - 9}\] Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю \((t-3)(t+3) = t^2 - 9\): \[\frac{(t + 3)^2 + (t - 3)^2 - (4t + 16)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0\] Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: \[\frac{t^2 + 6t + 9 + t^2 - 6t + 9 - 4t - 16}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0\] \[\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0\] Вынесем общий множитель и заметим формулу квадрата разности: \[\frac{2(t^2 - 2t + 1)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0 \implies \frac{2(t - 1)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решениями для \(t\) являются промежутки: \[\left[\begin{matrix} t < -3 \\ t = 1 \\ t > 3 \end{matrix}\right.\] Выполним переход обратно к переменной \(x\): \[\left[\begin{matrix} \log _{4} x < -3 \\ \log _{4} x = 1 \\ \log _{4} x > 3 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < 4^{-3} \\ x = 4^1 \\ x > 4^3 \end{matrix}\right. \iff \left[\begin{matrix} x < \frac{1}{64} \\ x = 4 \\ x > 64 \end{matrix}\right.\] С учетом условия \(x > 0\) получаем итоговое множество решений:

Ответ: \(\left(0 ; \frac{1}{64}\right) \cup \{4\} \cup (64 ; +\infty)\)

Источник: ФИПИ