Решение:
Дано неравенство: \(7 \log _{12} \left(x^{2} - 13 x + 42\right) \leq 8 + \log _{12} \frac{\left(x - 7\right)^{7}}{x - 6}\).
Найдём область допустимых значений переменной, исходя из условий положительности аргументов логарифмов:
\(\begin{cases} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}\)
Разложим квадратный трёхчлен на множители и проанализируем систему:
\(\begin{cases} (x - 6)(x - 7) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}\)

Решением данной системы является множество: \(x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)\).
Преобразуем исходное выражение, применяя правила логарифмирования произведения и частного:
\(\log_{a} (b \cdot c) = \log_{a} b + \log_{a} c\)
\(\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c\)
Представим аргумент в левой части как произведение:
\(7 \log _{12} ((x - 6)(x - 7)) \leq 8 + \log _{12} \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6}\)
Раскроем логарифмы (учитывая область определения, где \(x-6\) и \(x-7\) одного знака):
\(7 \log _{12} |x - 6| + 7 \log _{12} |x - 7| \leq 8 + 7 \log _{12} |x - 7| - \log _{12} |x - 6|\)
Приведём подобные слагаемые:
\(8 \log _{12} |x - 6| \leq 8\)
Разделим на 8 и перейдём к потенцированию:
\(\log _{12} (x - 6)^2 \leq 2\)
\((x - 6)^2 \leq 12^2\)
\(x^2 - 12x + 36 \leq 144\)
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
\(x^2 - 12x - 108 \leq 0\)
\((x + 6)(x - 18) \leq 0\)

Теперь сопоставим полученный результат с ранее найденными ограничениями:

Таким образом, решением неравенства будут интервалы: \(x \in [-6; 6) \cup (7; 18]\).

Ответ: \([-6; 6) \cup (7; 18]\)

Источник: ФИПИ