Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, приведя его к следующему виду:
\[\frac{\log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 )}{(\log _{2} x^{2} + 1)^2} \geq 0\] Заметим, что в знаменателе находится полный квадрат \(\left(\log _{2} x^{2} + 1\right)^{2}\). Данное выражение всегда неотрицательно в области своего определения. Выясним, при каких значениях переменной оно не определено или обращается в нуль:
1) Логарифм \(\log_2 x^2\) не существует, если \(x = 0\).
2) Знаменатель равен нулю, если \(\log_2 x^2 + 1 = 0\), то есть \(\log_2 x^2 = -1\). Это происходит при \(x^2 = \frac{1}{2}\), откуда \(x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Следовательно, при \(x \neq 0\) и \(x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) знаменатель строго положителен, и исходное неравенство равносильно системе:
\[\begin{cases} \log _{2} ( 2 - x ) - \log _{2} ( x + 1 ) \geq 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}\] Решим логарифмическое неравенство в числителе:
\(\log _{2} ( 2 - x ) \geq \log _{2} ( x + 1 )\)
Переходя к аргументам с учетом области определения логарифмов, получаем:
\(0 < x + 1 \leq 2 - x\)
Решая это двойное неравенство, находим:
\(-1 < x\) и \(2x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0,5\).
Таким образом, решением числителя является промежуток \((-1; 0,5]\).
Теперь исключим из этого интервала точки, в которых знаменатель не определен или равен нулю: \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(x = 0\) и \(x = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Заметим, что \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7\), что больше \(0,5\), поэтому эта точка не входит в рассматриваемый интервал. Остаются точки \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(0\).
Объединяя условия, получаем искомые промежутки:
\(-1 < x < -\frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 0\);
\(0 < x \leq \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\left(-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right) \cup \left(0; \frac{1}{2}\right]\)

Источник: ФИПИ