Решение:
Дано неравенство: \(\frac{2^{3 x} - 2 \cdot 4^{x + 1} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0\).
Начнем с области допустимых значений. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно: \(x - 1 \neq 0\), то есть \(x \neq 1\).
Преобразуем выражение в числителе, приведя степени к основанию \(2\):
\(2^{3 x} - 2 \cdot 2^{2(x + 1)} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16 = 2^{3x} - 2 \cdot 2^{2x + 2} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16 = 2^{3x} - 8 \cdot 2^{2x} + 20 \cdot 2^x - 16\).
Для упрощения введем новую переменную \(t = 2^x\). Тогда числитель примет вид многочлена:
\(t^3 - 8t^2 + 20t - 16\).
Разложим этот многочлен на множители методом группировки:
\(t^3 - 2t^2 - 6t^2 + 12t + 8t - 16 = t^2(t - 2) - 6t(t - 2) + 8(t - 2) = (t - 2)(t^2 - 6t + 8)\).
Квадратный трехчлен \(t^2 - 6t + 8\) также разложим на множители (его корни \(2\) и \(4\)):
\((t - 2)(t - 2)(t - 4) = (t - 2)^2(t - 4)\).
Вернемся к переменной \(x\). Исходное неравенство теперь выглядит так:
\(\frac{(2^x - 2)^2 (2^x - 4)}{x - 1} \geq 0\).
Определим критические точки, в которых числитель обращается в ноль:
1) \((2^x - 2)^2 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1\);
2) \(2^x - 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2\).
Заметим, что точка \(x = 1\) является корнем четной кратности для числителя, но она же исключается из-за условия в знаменателе. Проанализируем знаки выражения на числовой прямой:

Учитывая условие \(x \neq 1\), выкалываем данную точку. При \(x < 1\) числитель отрицателен и знаменатель отрицателен, что дает плюс. В интервале \((1; 2)\) числитель отрицателен, а знаменатель положителен. При \(x \geq 2\) обе части дроби положительны (или числитель равен нулю).
Таким образом, решением неравенства являются промежутки: \((-\infty; 1) \cup [2; +\infty)\).

Ответ: \((-\infty; 1) \cup [2; +\infty)\)

Источник: ФИПИ