Решение:
Дано неравенство: \(\frac{27^{x} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 5} - 729}{50 x^{2} + 10 x + 0{,}5} \leq 0\).
Начнём с нахождения области допустимых значений (знаменатель не может быть равен нулю):
\(50 x^{2} + 10 x + 0{,}5 \neq 0\)
Для удобства умножим всё выражение на \(2\):
\(100 x^{2} + 20 x + 1 \neq 0\)
Заметим формулу квадрата суммы \((10x + 1)^2 \neq 0\), откуда следует:
\(10 x + 1 \neq 0\)
\(x \neq -0{,}1\).
Теперь проанализируем числитель дроби, учитывая знак неравенства:
\(27^{x} - 3 \cdot 9^{x + 1} + 3^{x + 5} - 729 \leq 0\)
Приведём все степени к основанию \(3\):
\(3^{3x} - 3 \cdot 9 \cdot 3^{2x} + 3^5 \cdot 3^x - 729 \leq 0\)
\(3^{3x} - 27 \cdot 3^{2x} + 243 \cdot 3^x - 729 \leq 0\)
Введём новую переменную \(t = 3^x\). Получим кубическое выражение:
\(t^3 - 3 \cdot 9 \cdot t^2 + 3 \cdot 81 \cdot t - 9^3 \leq 0\)
Данное выражение сворачивается по формуле куба разности \((a-b)^3\):
\((t - 9)^3 \leq 0\)
Выполним обратный переход к переменной \(x\):
\((3^x - 3^2)^3 \leq 0\)
Так как функция \(y = 3^x\) монотонно возрастает, знак разности \((3^x - 3^2)\) совпадает со знаком разности показателей \((x - 2)\):
\((x - 2)^3 \leq 0\), что равносильно \(x \leq 2\).
Объединим полученное условие с ограничением по знаменателю на числовой прямой:

Ответ: \(\left(-\infty; -0{,}1\right) \cup \left(-0{,}1; 2\right]\)

Источник: ФИПИ