Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\frac{1}{3^{x} + 4} \leq \frac{2}{3 \cdot 3^{x} - 1}\).
Для упрощения введем новую переменную, пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\).
Тогда выражение примет вид: \(\frac{1}{t + 4} \leq \frac{2}{3t - 1}\).
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
\(\frac{1}{t + 4} - \frac{2}{3t - 1} \leq 0\)
\(\frac{(3t - 1) - 2(t + 4)}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0\)
\(\frac{3t - 1 - 2t - 8}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0\)
\(\frac{t - 9}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0\)
Решим полученное рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной \(x\), учитывая найденные промежутки для \(t\):
1) \(t < -4 \Rightarrow 3^{x} < -4\). Данное неравенство не имеет решений, так как показательная функция всегда принимает положительные значения.
2) \(\frac{1}{3} < t \leq 9\).
Разобьем на систему или решим двойным неравенством:
\(3^{x} > \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{x} > 3^{-1} \Rightarrow x > -1\);
\(3^{x} \leq 9 \Rightarrow 3^{x} \leq 3^{2} \Rightarrow x \leq 2\).
Объединяя условия, получаем интервал: \(x \in (-1; 2]\).

Ответ: \((-1; 2]\)

Источник: ФИПИ