Решение:
Для упрощения выражения введём новую переменную, обозначив \(2^{x}\) через \(t\). В результате исходное неравенство примет вид:
\[\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 4} + \frac{66}{t^{2} - 12 t + 32} \leq 0\] Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители как \((t-8)(t-4)\). Приведём все дроби в левой части к общему знаменателю:
\[\frac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0\] Раскроем скобки и упростим числитель:
\[\frac{t^{2} - 4t + t^{2} - 64 + 66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0\] \[\frac{2t^{2} - 4t + 2}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0\] Вынесем общий множитель 2 и свернём числитель по формуле квадрата разности:
\[\frac{2(t - 1)^{2}}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство относительно \(t\) методом интервалов:

Из чертежа видно, что условие выполняется при \(t = 1\) или когда \(t\) находится в интервале от \(4\) до \(8\). Перейдём обратно к переменной \(x\):
\[\left[\begin{matrix} 2^{x} = 1 \\ 4 < 2^{x} < 8 \end{matrix}\right.\] Решая простейшие показательные уравнения и неравенства, получаем:
\[\left[\begin{matrix} x = 0 \\ 2 < x < 3 \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\{0\} \cup (2; 3)\)

Источник: ФИПИ