Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16} \geq 0\] Начнём с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
\(4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16 \neq 0\)
Заметим, что выражение в знаменателе представляет собой полный квадрат:
\((2^{x^{2}})^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 2^{x^{2}} + 4^{2} \neq 0\)
\(\left(2^{x^{2}} - 4\right)^{2} \neq 0\)
Следовательно, \(2^{x^{2}} \neq 4\), откуда \(x^{2} \neq 2\). Таким образом, \(x \neq \pm \sqrt{2}\).
Поскольку знаменатель \(\left(2^{x^{2}} - 4\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq \pm \sqrt{2}\), знак всей дроби определяется знаком числителя. Решим неравенство:
\(x^{3} + x^{2} - x - 1 \geq 0\)
Применим метод группировки для разложения на множители:
\(x^{2}(x + 1) - (x + 1) \geq 0\)
\((x^{2} - 1)(x + 1) \geq 0\)
Разложим разность квадратов:
\((x - 1)(x + 1)(x + 1) \geq 0\)
\((x - 1)(x + 1)^{2} \geq 0\)
Определим знаки полученного выражения на числовой прямой:

Теперь сопоставим полученное решение с найденными ранее ограничениями \(x \neq \pm \sqrt{2}\):

Ответ: \(\{-1\} \cup [1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)\)

Источник: ФИПИ