Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{9^{x^{2}} - 18 \cdot 3^{x^{2}} + 81} \leq 0\] Начнём с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
\(9^{x^{2}} - 18 \cdot 3^{x^{2}} + 81 \neq 0\)
Заметим в левой части формулу квадрата разности:
\(\left(3^{x^{2}} - 9\right)^{2} \neq 0\)
Отсюда следует, что \(3^{x^{2}} \neq 9\), то есть \(3^{x^{2}} \neq 3^{2}\).
Значит, \(x^{2} \neq 2\), откуда получаем критические точки \(x \neq \pm \sqrt{2}\).
Поскольку знаменатель \(\left(3^{x^{2}} - 9\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq \pm \sqrt{2}\), знак дроби определяется только числителем. Переходим к решению неравенства для числителя:
\(x^{3} - x^{2} - x + 1 \leq 0\)
Применим метод группировки слагаемых:
\(x^{2}(x - 1) - (x - 1) \leq 0\)
\((x^{2} - 1)(x - 1) \leq 0\)
Разложим разность квадратов:
\((x - 1)(x + 1)(x - 1) \leq 0\)
\((x + 1)(x - 1)^{2} \leq 0\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь наложим ранее найденные ограничения на полученное множество решений:

Ответ: \((-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; -1] \cup \{1\}\)

Источник: ФИПИ