Разбор решения:
Исходное неравенство: \(\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64} \leq 0\).
Начнем с нахождения области допустимых значений, исключив те точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
\(4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64 \neq 0\)
Заметим в левой части формулу квадрата разности \((a-b)^2\):
\(\left(2^{x^{2}} - 8\right)^{2} \neq 0\)
Следовательно, \(2^{x^{2}} \neq 8\). Представим 8 как \(2^3\), тогда:
\(x^{2} \neq 3\), откуда получаем \(x \neq \pm \sqrt{3}\).
Поскольку знаменатель \(\left(2^{x^{2}} - 8\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq \pm \sqrt{3}\), знак дроби определяется только числителем:
\(x^{3} - x^{2} - x + 1 \leq 0\)
Разложим многочлен на множители методом группировки:
\(x^{2} (x - 1) - (x - 1) \leq 0\)
\((x - 1) (x^{2} - 1) \leq 0\)
Раскроем разность квадратов:
\((x - 1) (x - 1) (x + 1) \leq 0\)
\((x - 1)^{2} (x + 1) \leq 0\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь наложим найденные ранее ограничения \(x \neq \pm \sqrt{3}\) на полученное множество решений:

Ответ: \((-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; -1] \cup \{1\}\)

Источник: ФИПИ