Решение:
Для упрощения выражения введем новую переменную, положив \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Исходное неравенство примет вид:
\[\frac{31 - 5 t}{t^{2} - 24 t + 128} - \frac{1}{4} \geq 0\]
Приведем дроби к общему знаменателю, предварительно разложив квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители: \(t^{2} - 24 t + 128 = (t - 16)(t - 8)\). Получим:
\[\frac{4(31 - 5t) - (t^2 - 24t + 128)}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0\]
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
\[\frac{124 - 20t - t^2 + 24t - 128}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0\]
\[\frac{-t^2 + 4t - 4}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0\]
Умножим обе части неравенства на \(-4\), при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\[\frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0\]
Заметим, что в числителе находится полный квадрат разности:
\[\frac{(t - 2)^2}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0\]

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решением для переменной \(t\) являются точка \(t = 2\) и интервал \(8 < t < 16\).
Перейдем обратно к переменной \(x\):
\[\left[\begin{matrix} 2^{x} = 2 \\ 8 < 2^{x} < 16 \end{matrix}\right.\]
Решая совокупность, находим значения \(x\):
\[\left[\begin{matrix} x = 1 \\ 3 < x < 4 \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\{1\} \cup (3; 4)\)

Источник: ФИПИ