Решение:
Для решения введём новую переменную, положив \(3^{x} = t\). Исходное неравенство примет вид:
\[\frac{117 - 15 t}{t^{2} - 36 t + 243} - \frac{1}{2} \geq 0\] Приведём левую часть к общему знаменателю, разложив квадратный трёхчлен в знаменателе на множители:
\[\frac{2(117 - 15 t) - (t^{2} - 36 t + 243)}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0\] Раскроем скобки и упростим числитель:
\[\frac{234 - 30 t - t^{2} + 36 t - 243}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0\] \[\frac{-t^{2} + 6 t - 9}{2 (t - 27) (t - 9)} \geq 0\] Умножим обе части неравенства на \(-1\), изменив знак неравенства, и выделим полный квадрат в числителе:
\[\frac{t^{2} - 6 t + 9}{2 (t - 27) (t - 9)} \leq 0\] \[\frac{(t - 3)^{2}}{(t - 27) (t - 9)} \leq 0\] Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Учитывая, что \(t = 3^x\), перейдём к обратной замене. Из рисунка видно, что условию удовлетворяет точка \(t = 3\) и интервал от \(9\) до \(27\):
\[\left[\begin{matrix} 3^{x} = 3 \\ 9 < 3^{x} < 27 \end{matrix}\right.\] Отсюда находим значения \(x\):
\[\left[\begin{matrix} x = 1 \\ 2 < x < 3 \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\{1\} \cup (2; 3)\)

Источник: ФИПИ