Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{1{,}5^{x} - 3{,}375}{0{,}25^{x} - 0{,}5^{x - 3{,}5} + 32} \leq 0\] Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
\(0{,}25^{x} - 0{,}5^{x - 3{,}5} + 32 \neq 0\)
Преобразуем выражение, перейдя к основанию \(\frac{1}{2}\):
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 3{,}5} + 32 \neq 0\)
Заметим, что \(0{,}5^{-(3{,}5)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{7}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} = \sqrt{2^7} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\). Однако удобнее представить это как \(2 \cdot \sqrt{32}\):
\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \cdot \sqrt{128} + 32 \neq 0\)
Выражение в левой части представляет собой полный квадрат разности:
\(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - \sqrt{32}\right)^{2} \neq 0\)
Следовательно, основание квадрата не должно равняться нулю:
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \neq \sqrt{32}\)
Приведем обе части к основанию \(2\):
\(2^{-x} \neq 2^{2{,}5}\)
Откуда получаем ограничение: \(x \neq -2{,}5\).

Поскольку знаменатель \(\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - \sqrt{32}\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq -2{,}5\), знак всей дроби зависит только от числителя. Неравенство сводится к следующему:
\(1{,}5^{x} - 3{,}375 \leq 0\)
Перейдем к обыкновенным дробям:
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \frac{3375}{1000}\)
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \frac{27}{8}\)
Заметим, что \(\frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3}\):
\(\left(\frac{3}{2}\right)^{x} \leq \left(\frac{3}{2}\right)^{3}\)
Так как основание \(1{,}5 > 1\), то знак неравенства для показателей сохраняется:
\(x \leq 3\).

Исключая из найденного луча точку \(x = -2{,}5\), получаем итоговое решение:

Ответ: \((-\infty; -2{,}5) \cup (-2{,}5; 3]\)

Источник: ФИПИ