Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \[\frac{0{,}2^{x} - 125}{4^{x} - 2^{x + 2{,}5} + 8} \leq 0\] Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
\(4^{x} - 2^{x + 2{,}5} + 8 \neq 0\)
Преобразуем выражение, используя свойства степени:
\(2^{2x} - 2^{x} \cdot 2^{2{,}5} + 8 \neq 0\)
Заметим, что \(2^{2{,}5} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Однако удобнее представить это как \(2 \cdot \sqrt{8}\):
\(2^{2x} - 2^{x} \cdot 2\sqrt{8} + 8 \neq 0\)
Левая часть представляет собой полный квадрат разности:
\(\left(2^{x} - \sqrt{8}\right)^{2} \neq 0\)
Следовательно, \(2^{x} \neq \sqrt{8}\). Так как \(\sqrt{8} = 2^{1{,}5}\), получаем:
\(2^{x} \neq 2^{\frac{3}{2}}\)
Откуда находим ограничение по переменной: \(x \neq 1{,}5\).

Перейдем к решению самого неравенства. Поскольку знаменатель \(\left(2^{x} - \sqrt{8}\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq 1{,}5\), дробь будет неположительной тогда и только тогда, когда её числитель меньше или равен нулю:
\(0{,}2^{x} - 125 \leq 0\)
Представим десятичную дробь и число через основание \(5\):
\(\left(\frac{1}{5}\right)^{x} \leq 125\)
\(5^{-x} \leq 5^{3}\)
Так как основание степени \(5 > 1\), переходим к сравнению показателей с сохранением знака неравенства:
\(-x \leq 3\)
\(x \geq -3\).

Объединим полученное условие с найденным ранее ограничением:

Ответ: \([-3; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)\)

Источник: ФИПИ