Разбор решения:
Дано неравенство: \(\frac{0{,}125^{x} - 64}{16^{x} - 4^{x + 1} + 4} \leq 0\).
Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
\(16^{x} - 4^{x + 1} + 4 \neq 0\)
Преобразуем выражение, используя свойства степени \(4^{x+1} = 4 \cdot 4^x\):
\((4^x)^2 - 4 \cdot 4^{x} + 4 \neq 0\)
Заметим формулу квадрата разности \((a-b)^2\):
\(\left(4^{x} - 2\right)^{2} \neq 0\)
Следовательно, \(4^{x} \neq 2\). Представим обе части как степени двойки:
\(2^{2x} \neq 2^{1}\)
Отсюда получаем ограничение по переменной: \(2x \neq 1\), то есть \(x \neq 0{,}5\).

Теперь проанализируем знак дроби. Поскольку знаменатель \(\left(4^{x} - 2\right)^{2}\) всегда положителен при \(x \neq 0{,}5\), исходное неравенство равносильно условию, что числитель меньше или равен нулю:
\(0{,}125^{x} - 64 \leq 0\)
Перейдем к основанию \(2\), учитывая, что \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\) и \(64 = 2^6\):
\((2^{-3})^x \leq 2^6\)
\(2^{-3x} \leq 2^6\)
Так как основание степени \(2 > 1\), знак неравенства для показателей сохраняется:
\(-3x \leq 6\)
Разделим на \(-3\), меняя знак неравенства:
\(x \geq -2\).

Объединим полученное условие с найденным ранее ограничением для знаменателя:

Ответ: \([-2; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)\)

Источник: ФИПИ