Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\frac{0{,}25^{x} - 4}{16^{x} - 4^{x + 2} + 64} \leq 0\).
Для начала определим область допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в ноль:
\(16^{x} - 4^{x + 2} + 64 \neq 0\)
Представим все слагаемые как степени с основанием \(4\):
\((4^2)^{x} - 4^x \cdot 4^2 + 64 \neq 0\)
\(4^{2x} - 16 \cdot 4^x + 64 \neq 0\)
Заметим здесь формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\((4^x - 8)^2 \neq 0\)
Следовательно, \(4^x \neq 8\). Перейдем к основанию \(2\):
\(2^{2x} \neq 2^3\)
Откуда получаем ограничение: \(2x \neq 3\), то есть \(x \neq 1{,}5\).

Поскольку знаменатель \((4^x - 8)^2\) всегда положителен при \(x \neq 1{,}5\), знак всей дроби зависит только от числителя. Неравенство сводится к следующему:
\(0{,}25^x - 4 \leq 0\)
Перепишем \(0{,}25\) как \(\frac{1}{4}\) или \(4^{-1}\):
\((4^{-1})^x \leq 4^1\)
\(4^{-x} \leq 4^1\)
Так как основание степени \(4 > 1\), функция возрастает, и мы переходим к сравнению показателей:
\(-x \leq 1\)
\(x \geq -1\).

Теперь объединим полученное условие с найденным ранее ограничением для знаменателя:

Ответ: \([-1; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)\)

Источник: ФИПИ