Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: \(\sqrt{x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2}} = x^{2} + 2 x - 3 a\).
Данное иррациональное уравнение равносильно следующей системе:
\(\left\{\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} = \left(x^{2} + 2 x - 3 a\right)^{2} \quad ( 1 ) \\ x^{2} + 2 x - 3 a \geq 0 \end{matrix}\right.\)

Преобразуем уравнение \(( 1 )\), используя формулу квадрата суммы трёх слагаемых \(\left(a + b + c\right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc\):
\(x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} = x^{4} + 4 x^{2} + 9 a^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 2x + 2 \cdot x^{2} \cdot (-3a) + 2 \cdot 2x \cdot (-3a)\)
Упростим выражение, сократив одинаковые слагаемые в обеих частях:
\(0 = 4x^{3} - 6ax^{2} - 12ax + 4x^{2}\)
Сгруппируем и вынесем общий множитель \(2x\):
\(2x (2x^{2} + 2x - 3ax - 6a) = 0\)
Отсюда получаем первый корень \(x_{1} = 0\) или уравнение \(2x^{2} + x(4 - 3a) - 6a = 0\).

Решим квадратное уравнение относительно \(x\):
\(D = (4 - 3a)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-6a) = 16 - 24a + 9a^{2} + 48a = 9a^{2} + 24a + 16 = (3a + 4)^{2}\)
Находим корни:
\(x_{2} = \frac{-(4 - 3a) + (4 + 3a)}{4} = \frac{6a}{4} = \frac{3}{2}a\)
\(x_{3} = \frac{-(4 - 3a) - (4 + 3a)}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Теперь проверим, при каких значениях параметра \(a\) найденные корни удовлетворяют условию \(x^{2} + 2x - 3a \geq 0\):
1) Для \(x_{1} = 0\):
\(0^{2} + 2 \cdot 0 - 3a \geq 0 \Rightarrow -3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0\).
Следовательно, \(x = 0\) является корнем при \(a \in (-\infty; 0]\).

2) Для \(x_{2} = \frac{3}{2}a\):
\(\left(\frac{3a}{2}\right)^{2} + 2 \cdot \frac{3a}{2} - 3a \geq 0 \Rightarrow \frac{9a^{2}}{4} + 3a - 3a \geq 0 \Rightarrow \frac{9a^{2}}{4} \geq 0\).
Это неравенство верно для любого \(a\), значит \(x = \frac{3}{2}a\) — корень при всех \(a \in \mathbb{R}\).

3) Для \(x_{3} = -2\):
\((-2)^{2} + 2 \cdot (-2) - 3a \geq 0 \Rightarrow 4 - 4 - 3a \geq 0 \Rightarrow -3a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0\).
Значит, \(x = -2\) является корнем при \(a \in (-\infty; 0]\).

Выясним, когда корни совпадают между собой:
— \(x_{1} = x_{2}\) при \(0 = \frac{3}{2}a\), то есть при \(a = 0\).
— \(x_{2} = x_{3}\) при \(\frac{3}{2}a = -2\), то есть при \(a = -\frac{4}{3}\).
— \(x_{1} = x_{3}\) невозможно, так как \(0 \neq -2\).

Ответ: \(\left(-\infty; -\frac{4}{3}\right) \cup \left(-\frac{4}{3}; +\infty\right)\)

Источник: ФИПИ