Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: \(x^{2} + a^{2} - x - 7 a = \left|7 x - a\right|\).
Для раскрытия модуля разберем два случая в зависимости от знака подмодульного выражения:
\(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 7 x - a \geq 0 \\ x^{2} + a^{2} - x - 7 a = 7 x - a \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} 7 x - a < 0 \\ x^{2} + a^{2} - x - 7 a = -(7 x - a) \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
Приведем уравнения систем к каноническому виду, сгруппировав слагаемые:
\(\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0 \\ a \leq 7 x \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x^{2} + 6 x + a^{2} - 8 a = 0 \\ a > 7 x \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\)
Границей областей служит прямая \(a = 7 x\).

x	0	1
a	0	7

Преобразуем уравнения, выделяя полные квадраты для получения уравнений окружностей:
(1) Для первого случая:
\(x^{2} - 8 x + 16 + a^{2} - 6 a + 9 = 16 + 9\)
\((x - 4)^{2} + (a - 3)^{2} = 5^{2}\).
Это окружность с центром в точке \((4; 3)\) и радиусом \(5\).
(2) Для второго случая:
\(x^{2} + 6 x + 9 + a^{2} - 8 a + 16 = 9 + 16\)
\((x + 3)^{2} + (a - 4)^{2} = 5^{2}\).
Это окружность с центром в точке \((-3; 4)\) и радиусом \(5\).
Проверим точки пересечения графиков с граничной прямой и друг с другом:
Для первой окружности при \(x=0, a=0\): \((0 - 4)^{2} + (0 - 3)^{2} = 16 + 9 = 25\). Верно.
Для второй окружности при \(x=0, a=0\): \((0 + 3)^{2} + (0 - 4)^{2} = 9 + 16 = 25\). Верно.
Проверим точку \((1; 7)\) для первой окружности: \((1 - 4)^{2} + (7 - 3)^{2} = 9 + 16 = 25\). Верно.
Проверим точку \((-1; -7)\) — не подходит, проверим точку пересечения окружностей.
Заметим, что обе фигуры проходят через начало координат \((0; 0)\) и точку \((-1; 7)\).

Таким образом, линии пересекаются в узлах с координатами \((-1; 7)\) и \((0; 0)\).

Ответ: \((-2; -1) \cup (8; 9)\)

Источник: ФИПИ