Решение:
Рассмотрим исходное уравнение: \(x^{2} + a^{2} + x - 7 a = \left|7 x + a\right|\).
Для раскрытия модуля разберем два возможных случая.

1) Если подмодульное выражение неотрицательно (\(7x + a \geq 0\)), уравнение принимает вид:
\(x^{2} + a^{2} + x - 7 a = 7 x + a\)
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
\(x^{2} - 6 x + a^{2} - 8 a = 0\)
Выделим полные квадраты для переменных \(x\) и \(a\):
\((x^{2} - 6 x + 9) + (a^{2} - 8 a + 16) = 25\)
Получаем уравнение окружности:
\(\left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 5^{2}\)

2) Если подмодульное выражение отрицательно (\(7x + a < 0\)), уравнение записывается так:
\(x^{2} + a^{2} + x - 7 a = - (7 x + a)\)
\(x^{2} + a^{2} + x - 7 a = - 7 x - a\)
Сгруппируем слагаемые:
\(x^{2} + 8 x + a^{2} - 6 a = 0\)
Дополним выражения до полных квадратов:
\((x^{2} + 8 x + 16) + (a^{2} - 6 a + 9) = 25\)
Это уравнение второй окружности:
\(\left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 5^{2}\)

Проанализируем границы графиков, найдя точки пересечения первой окружности \(\left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 25\) с прямой \(a = -7x\):
\(\left\{\begin{matrix} \left(x - 3\right)^{2} + \left(a - 4\right)^{2} = 25 \\ a = - 7 x \end{matrix}\right.\)
Подставим выражение для \(a\) в уравнение окружности:
\(\left(x - 3\right)^{2} + \left(- 7 x - 4\right)^{2} = 25\)
Раскроем скобки:
\(x^{2} - 6 x + 9 + 49 x^{2} + 56 x + 16 = 25\)
\(50 x^{2} + 50 x = 0\)
\(50 x \left(x + 1\right) = 0\)
Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = - 1\).
Соответствующие значения параметра \(a\):
При \(x = 0 \Rightarrow a = 0\);
При \(x = - 1 \Rightarrow a = 7\).

x	-1	0
a	7	0

Теперь определим точки пересечения второй окружности \(\left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25\) с той же прямой \(a = -7x\):
\(\left\{\begin{matrix} \left(x + 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25 \\ a = - 7 x \end{matrix}\right.\)
Выполним подстановку:
\(\left(x + 4\right)^{2} + \left(- 7 x - 3\right)^{2} = 25\)
\(x^{2} + 8 x + 16 + 49 x^{2} + 42 x + 9 = 25\)
\(50 x^{2} + 50 x = 0\)
Откуда получаем аналогичные абсциссы:
\(x_{1} = 0 \Rightarrow a = 0\)
\(x_{2} = - 1 \Rightarrow a = 7\).
Таким образом, обе окружности стыкуются в точках \((0; 0)\) и \((-1; 7)\).

Ответ: \(\left[- 1 ; 0\right] \cup \left[7 ; 8\right]\)

Источник: ФИПИ