Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\left(\log _{36} x + 1\right) \cdot \left(\frac{1}{\log _{36} x} + 1\right) \leq \log _{36} x\).
Прежде всего определим область допустимых значений переменной \(x\):
\(\begin{cases} x > 0 \\ \log _{36} x \neq 0 \end{cases}\)
Отсюда следует, что \(x > 0\) и \(x \neq 1\), то есть область определения: \(x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\).
Для упрощения вычислений введем новую переменную, пусть \(\log _{36} x = t\). Тогда неравенство примет вид:
\((t + 1) \left(\frac{1}{t} + 1\right) \leq t\)
Раскроем скобки в левой части выражения:
\(t \cdot \frac{1}{t} + t \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{t} + 1 \cdot 1 \leq t\)
\(1 + t + \frac{1}{t} + 1 \leq t\)
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
\(2 + \frac{1}{t} \leq 0\)
Приведем выражение к общему знаменателю:
\(\frac{2t + 1}{t} \leq 0\)
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Согласно схеме, решением для \(t\) является промежуток: \(t \in [ - \frac{1}{2} ; 0 )\).
Выполним обратный переход к переменной \(x\):
\(- \frac{1}{2} \leq \log _{36} x < 0\)
Используя определение логарифма и учитывая, что основание \(36 > 1\), получаем:
\(36^{- \frac{1}{2}} \leq x < 36^0\)
\(\frac{1}{\sqrt{36}} \leq x < 1\)
\(\frac{1}{6} \leq x < 1\)
Таким образом, \(x \in [ \frac{1}{6} ; 1 )\).

Ответ: \([ \frac{1}{6} ; 1 )\)

Источник: ФИПИ