Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\log _{x + 1} \left(x^{2} - 5 x + 7\right) \leq \log _{x + 1} x\).
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть положительными, а основание — положительным и отличным от единицы:
\[\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \\ x^{2} - 5 x + 7 > 0 \\ x > 0 \end{cases}\]
Решим полученную систему:
1) Из первого и второго условий: \(x > -1\) и \(x \neq 0\).
2) Квадратный трёхчлен \(x^2 - 5x + 7\) имеет отрицательный дискриминант (\(D = 25 - 28 = -3\)), а значит, выражение всегда положительно при любых \(x\).
3) Последнее условие: \(x > 0\).
Объединяя все ограничения, получаем область определения: \(x > 0\).
Заметим, что при \(x > 0\) основание логарифма \(x + 1\) всегда больше единицы. Следовательно, при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
\(x^{2} - 5 x + 7 \leq x\)
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:
\(x^{2} - 6 x + 7 \leq 0\)
Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(x^{2} - 6 x + 7 = 0\):
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8\)
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x_1 = 3 - \sqrt{2}, \quad x_2 = 3 + \sqrt{2}\)
Решим неравенство методом интервалов:

Решением квадратичного неравенства является отрезок \(\left[3 - \sqrt{2} ; 3 + \sqrt{2}\right]\).
Учитывая ОДЗ (\(x > 0\)) и тот факт, что \(3 - \sqrt{2} \approx 3 - 1,41 = 1,59 > 0\), всё найденное множество значений входит в ответ.

Ответ: \(\left[3 - \sqrt{2} ; 3 + \sqrt{2}\right]\)

Источник: ФИПИ