Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: \(\frac{9}{\log _{3} x} - \log _{3} \left(\frac{9}{x}\right) \leq \frac{34}{\log _{3} x^{2}}\).
Для начала определим область допустимых значений переменной \(x\):
\(\begin{cases} \log _{3} x \neq 0 \\ x > 0 \\ \frac{9}{x} > 0 \\ x \neq 0 \\ \log _{3} x^{2} \neq 0 \\ x^{2} > 0 \end{cases}\)
Решая данную систему, получаем условия:
\(\begin{cases} x \neq 1 \\ x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \\ x \neq 0 \end{cases}\)
Таким образом, ОДЗ: \(x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)\).
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
\(\frac{9}{\log _{3} x} - (\log _{3} 9 - \log _{3} x) \leq \frac{34}{2 \log _{3} x}\).
Упростим: \(\frac{9}{\log _{3} x} - (2 - \log _{3} x) \leq \frac{17}{\log _{3} x}\).
Введем новую переменную, пусть \(t = \log _{3} x\). Тогда неравенство примет вид:
\(\frac{9}{t} - 2 + t \leq \frac{17}{t}\)
Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю:
\(\frac{t^2 - 2t - 8}{t} \leq 0\)
Разложим числитель на множители:
\(\frac{(t + 2)(t - 4)}{t} \leq 0\)
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем два промежутка для \(t\):
\(\left[\begin{matrix} t \leq -2 \\ 0 < t \leq 4 \end{matrix}\right.\)
Вернемся к переменной \(x\), выполнив обратную подстановку:
\(\left[\begin{matrix} \log _{3} x \leq -2 \\ 0 < \log _{3} x \leq 4 \end{matrix}\right.\)
Так как основание логарифма \(3 > 1\), знаки неравенств сохраняются:
\(\left[\begin{matrix} x \leq 3^{-2} \\ 3^0 < x \leq 3^4 \end{matrix}\right.\)
\(\left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{9} \\ 1 < x \leq 81 \end{matrix}\right.\)
Визуализируем решение на числовой прямой:

Теперь сопоставим полученные интервалы с областью допустимых значений (\(x > 0, x \neq 1\)):

Итоговое множество решений: \(x \in (0; \frac{1}{9}] \cup (1; 81]\).

Ответ: \(x \in (0; \frac{1}{9}] \cup (1; 81]\)

Источник: ФИПИ